원문 : Introduction to Modern Optics (Grant R. Fowles)
작성 : Jckim
뉴턴의 간행물에서, 빛은 광선 즉 직선 경로로 움직이는 것 처럼 보이는 (균일한 매체에 대해) '직선전파의 법칙'을 따른다고 말하였다. 그 당시, 빛은 물질에서 방출되는 매우 작은 몸체라고 생각하였다. 또 Christian Huygens에 의해, 빛이란 모든 방향에서 그 근원으로 부터 퍼져나가는 '파동운동' (Wave)라고 설명하며, 뉴턴을 지지하였다. 회절 실험을 통해, 슬릿에서 빛을 반사하고 밝고 어두운 띠가 생기거나 회절 또는 장애물 주위로 퍼져가는 간섭 현상을 발견한 과학자들은, "빛은 파동성을 띈다, 빛은 곧 파동이다." 라고 생각하였다.
회절 실험을 통해, 슬릿에서 빛을 반사하고 밝고 어두운 띠가 생기거나 회절 또는 장애물 주위로 퍼져가는 간섭 현상을 발견한 과학자들은, "빛은 파동성을 띈다, 빛은 곧 파동이다." 라고 생각하였다.
이후에 Maxwell 은 가시광선은 전자기 에너지의 한 형태임을 알아내고, 빛과 에너지와의 관계에 대해 서술하였다. 그것은 나중에 Maxwell Equation이라고 불리우게 된다. 1800년대 후반에 들어서면서, Planck 와 Einstein, Bohr에 의해, 빛은 전자기 에너지가 양자화 되어있다는 '빛의 입자성' 을 발견하게 된다. "Photon"이라고 불리는 불연속적인 입자들이 전기장에 의해서 양자화 된다는 사실을 규명하고 빛의 입자성을 설명하였다. 특히 Einstein은 '빛의 이중성'을 주장하면서, "빛은 파동성과 입자성 (간섭 회절효과 와 광전효과) 을 모두 가진다 " 라고 주장하였다.
빛은 간단하게 정의 내릴수 있는 것이 아니다. 지금도 계속 연구중이며, 익숙한 물체, 현상이나 거시적인 모델은 없다. 그러나 빛을 이해하려고 할 수는 있다. 현재는 Maxwell의 이론과 (빛의 전파) 양자이론 (빛과 물질의 상호작용)이 모든 광학현상을 모호함 없이 설명하고 있다. 이를 '양자전기역학'(Quantum Electrodynamics) 라고 부른다. 현재 실험적 관찰을 설명하는 수학의 틀에서 빛의 본질을 잘 이해 할 수 있다. 빛의 본성에 대한 질문의 답은 없으나, 광학에 대한 연구와는 무관하다.
Electrical Constants and the Speed of Light
빈 공간에서 진공의 전자기 상태는 전기장 벡터(Ε)와 자기장 벡터(Η)로 구성되어 있다. 정적인 경우 (Static case) 전기장과 자기장은 서로 독립적이며, 모든 공간에서 전하와 전류의 분포에 의해 각각 결정된다. 그러나 동적인 경우 (Dynamic case)는 두 Field 가 독립적이지 않으며 옆과 같은 수식을 만족한다.
이 Field의 공간과 시간의 도함수는 Curl Equation에 의한 표현으로 상호 연관되어 있다. 여기서 아래 두개의 수식은 발산조건 (Divergence condition)을 만족한다는 뜻이다. 이는 해당지점에서 Charge가 없다는 뜻이며, Static 한경우와 Dynamic한 두 경우 모두 해당한다.
옆의 4개의 방정식은 진공에 대한 Maxwell Equation이다. 물질이 없는 곳에서 전기장의 근본적인 미분 방정식이다. 이 방정식에대한 의미들을 아래에 더 자세히 살펴보자.
먼저 Operator ∇에 대하여 알아보자. 기본적으로 각 성분에 대해 편미분을 취해주는 것으로, 수식으로는 아래와 같이 쓴다.
이 Operator를 이용하여, Divergence를 설명해보자. 아래의 수식은 Static에서 사용된다. 즉 흐르는 방향에 대해 변화가 없을 때, 이 수식을 사용한다.
그리고 Curl 은 면적을 수직방향으로 관통하는 흐름을 표현하며, 아래와 같은 수식을 만족한다. Dynamic에서 사용되며, 흐름에 영향을 받는다.
이제 Maxwell Equation에 대해 알아보자. 먼저 아래 수식은 진공을 의미한다. Electric Field가 존재하지 않는다는 의미이며, 이는 위의 Divergence에서 전기장의 흐름이 없다는 것으로 해석된다.
그리고 아래는 Magnetic Field에 관한 식이다. 애초에 Magnetic 의 성질은 기본적으로 Monopole이 존재하지 않고, Dipole만 존재한다. 자석을 반을 잘라보게 되면, 항상 N극과 S극이 생기듯이 아래 수식은 Magnetic Field 의 본질적 특성 자체가 Dipole이라는 것을 의미하는 것이다.
우리는 이제 Dynamic한 경우에 대해서도 생각해 볼 수 있다. Electric Field의 공간이 동적인 경우에, 아래와 같은 수식을 만족하며, 이는 전기장의 공간변화가(∇ 연산자는 공간에서의 미분을 의미한다. ) 자기장의 시간변화를 가져온 다는 것을 의미한다. (앞의 수식) 본래 Electric Field에 Length (길이) 를 곱하면 Voltage (전압)이 생성 되는 것을 알고있고, 이 성질은 자속이 시간에 대한 변화를 가져올때 Voltage가 생성된다는 Lenz의 법칙을 알고있다. 즉 아래의 수식은 전기장의 공간변화와 자기장의 시간변화는 곧 빛이 움직임을 의미하고 있다.
또 우리는 Electric Field의 시간적 변화와 Magnetic Field의 공간적인 변화에 대해 고려해 볼 수 있다. 본래 전기변위장(Displacement)이 존재 하지만, 진공의 경우 이를 무시하여 시간에 대한 Electric Field의 변화만 존재한다고 가정한다. 그래서 자기장의 공간에 대한 변화(∇)는 전기장의 시간에 대한 변화와 전류의 변화를 가져온다는 것을 알 수있으며 아래와 같이 쓸 수 있다.
여기서 μ0 는 진공의 투자율, ε0는 진공의 유전율이라 부르며, 특별한 상수값을 갖는다.
위의 방정식 중, 하나의 방정식에 Curl 취하고 다른 방정식에 시간의 미분을 취해 연산순서를 바꾸면 Electric Field와 Magnetic Field가 아래와 같이 분리될 수 있다.
Divergence condition을 이용하여, Operator의 아래와 같은 형태를 얻을 수 있으며,
이를 이용해 우리는 전기장과 자기장에 대한 아래와 같은 편미분 방정식을 얻는다.
여기서 c 는 빛의 속도이며, 일반적인 경우 빛이 금속을 통과하지 못하기 때문에 주로 첫번째 식을 사용한다. 위의 이 방정식을 '파동 방정식' Wave Equation 이라고 부른다. 기계적 진동, 음파, 진동막 등과 같은 다양한 물리현상에서 파동이 발생 할 때, 위의 방정식을 이용할 수 있다.
Wave Equation을 통해, 전계와 자계의 Field의 변화가 빛의 속도'c' 와 같은 속도로 빈공간을 통해 전파된다는 것을 알 수 있다. 빛의 속도는 유전율과 투과율을 이용하여 계산 할 수 있고, 이는 National Bureau of Standards by Rosa and Dorsey 에서 측정한 값이며, 여러 실험들을 통해 증명 되었다. 빛의 속도를 직접 측정한 것은 1676년 목성의 달의 일식에서 빛의 속도를 최초로 측정하였다. 결론적으로 Wave Function로 우리는 전자기 교란(Electromagnetic Disturbance)이 곧 빛을 의미한 다는 것을 알 수있다.
위와 같이 진공에서의 투자율과 유전율을 이용해, 빛의 속도 상수를 유도해 보자. 전기장 벡터로 예를 들것이고, 자계에서도 동일한 결과가 나온다. 먼저 전기장 함수를 w와 k로 표현 하였다.(Trial Solution) sin파를 가진 이 전기장 함수는 가장 기본적인 평면파(Plane Wave)이다. 실제로는 이런 파형은 존재 하지 않는다. 위에서 가정한 전기장 벡터 Solution을 x와 t에대해 (공간과 시간에 대해) 미분해 본다.
위와 같이 쓸수 있고, 2차 미분에서 Asin(wt-kx+φ)가 같다는 것을 이용하면,
위와 같은 결과를 얻는다. 즉, 빛의 속도는 매질의 질감 과 관련되어 있다는 것을 알 수있고, 그것을 통하여 Wave Equation이 빛의 속도와 관련되어 있다는 사실까지 확인 할 수 있다. 진공이 아닌 매체 속에서 전파속도는 상대유전율과 상대투자율을 이용하여 구할 수 있다. 아래와 같은 관계식을 가지며, (K는 상대 유전율과 상대 투자율을 의미한다)
이를 이용하여 굴절률을 계산 할 수 있다.
여기서 u는 매질에서 빛의 상대속도, c는 진공에서 빛의속도, n은 굴절율 을 나타낸다.
대부분 투명한 광학매체는 nonmagnetic이므로, 상대 투자율이 1이라고 가정해도 무방하다. 그러므로 위의 식으로 굴절율이 비유전율의 제곱근과 같다는 사실도 알 수있다. (Km=1) 사실 굴절율은 방사선의 주파수에 따라 변하는 것으로 밝혀졌다. 이것은 모든 투명한 광학매체에 해당이 된다. 주파수에 따른 굴절률의 변화를 우리는 분산 (Dispersion)이라고 한다. 대표적으로 유릐의 분산은 Prism을 통해 우리가 알고있는 친숙한 색상들의 빛으로 나눠진다.
여기까지 Maxwell Equation과 광학의 기초적인 부분을 설명하였다. 다음엔 평면조화파동과 위상속도 (Plane Harmonic Waves and Phase velocity)에 대하여 알아보자.
* 위의 게시글은 Grant R. Fowles의 Introduction to Modern Optics second Edition 에서 번역한 내용을 바탕으로 작성 되었다.
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